Магический квадрат (3 видео)

Магический квадрат очень популярен среди любителей логических игр. Представляет собой таблицу, заполненную числами особым образом. Кроме того, сумма чисел одинакова во всех направлениях. Это значение называется константой. Существует множество вариаций таких головоломок разной степени сложности.

Содержание

История и современное применение
Квадрат нечётного порядка
Одинарная чётность
Вычисление магической константы
Дальнейшие действия
Двойной порядок
🎬 Видео

Видео:Как исполнить любое желание быстро (магический квадрат SATOR AREPO)Скачать

История и современное применение

Первые такие таблицы использовались в Древней Греции и Китае. Это подтверждают археологические находки. Арабы называли маршруты волшебными, так как считали, что они обладают магическими свойствами и могут защитить от многих бед.

В середине XVI века вопрос о том, как работает магический квадрат, стал интересовать математиков Европы. Они начали активно исследовать таинственные комбинации цифр. Ученые пытались вывести общие принципы построения четырехугольников и найти полный набор возможных вариантов.

В современной общеобразовательной школе на уроках математики используются различные виды магических квадратов. Они способствуют развитию логического мышления и вызывают большой интерес у детей.

С их помощью студенты учатся планировать свою работу и контролировать ее. В ячейки можно вводить не только отдельные числа, но и математические выражения. Задачи на эту тему часто предлагаются на математических олимпиадах.

Видео:Магия денег №1. Как быстро привлечь деньги (квадрат Форда)Скачать

Квадрат нечётного порядка

Среди простых магических квадратов в математике выделяют варианты четных и нечетных чисел. Первая группа делится на таблицы с одинарной и двойной четностью.

Первым шагом во всех случаях является определение магической константы. Делается это по специальной формуле [n*(n2+1)]/2. Понять принцип решения задачи в этом классе можно на простейшем примере. Для этого строится таблица с 9 ячейками. В него нужно вставить числа от 1 до 9. Дополнительный алгоритм:

Рассчитывается сумма, которую нужно получить в каждой строке. Для этого используется формула: 3*(32+1)/2=3*10/2. Ответом будет число 15.
Числа в ячейках расставлены так, чтобы их сумма была равна 15 в каждой строке. Это требует изобретательности и воображения.
1 вводится в среднюю ячейку в верхнем ряду.
Каждое последующее число ставится по диагонали вверх вправо. Цифру 2 поставить нельзя, так как выше нет строк. Если мысленно добавить еще один квадрат сверху, цифра 2 окажется в правом нижнем углу. Таким образом, цифра 2 помещается в правую нижнюю ячейку.
По такому же принципу добавляется цифра 3. Она попадает в среднюю ячейку слева.
Если нужная ячейка уже занята, следующий символ вводится ниже предыдущего. Так что 4 меньше 3.
Цифра 5 пишется по диагонали вправо и вверх, а 6 в правом верхнем углу.
Поскольку место числа 7 уже занято, оно подходит под число 6.
восьмерка занимает место в левом нижнем углу.
Оставшаяся ячейка занята девятью.

Общий алгоритм выполнения задания: каждый следующий символ пишется вверх и вправо. Если клетки там нет, рисуется еще один воображаемый квадрат. Если ячейка занята, число записывается ниже предыдущего. Таким способом можно составить любой квадрат нечетного порядка, в том числе и самый сложный, с большим количеством клеток.

Видео:Магические квадраты – тысячи лет восхищения // Vital MathСкачать

Одинарная чётность

Магические квадраты могут иметь порядок одинарной или двойной четности. Для каждого случая предусмотрена отдельная методика расчета. Для таблиц с одинарной четностью количество ячеек в одной строке или столбце уменьшается вдвое, но не делится на четыре. Наименьший квадрат, отвечающий этому требованию, — прямоугольник 6×6. Невозможно построить и заполнить фигуру 2х2.

Вычисление магической константы

Первый этап вычислений выполняется по формуле [n*(n2+1)]/2, где символ n обозначает количество ячеек в строке. Если взять в качестве примера квадрат 6х6, расчет будет выглядеть так: [6 х (36 + 1)]: 2 = (6 х 37): 2 = 222:2.

Магическая константа прямоугольника со стороной 6 клеток равна 111. Сумма чисел от 1 до 36 в каждом ряду и в разных направлениях должна равняться 111.

Рисунок разделен на 4 равные части. В каждой будет по 9 ячеек (3х3). Каждая часть обозначается латинскими буквами: А – левый верхний, С – правый верхний, D – левый нижний и В – правый нижний. Если квадрат имеет другой размер, разделите n на 2, чтобы найти точный размер каждой из 4 частей.

Дальнейшие действия

Следующим шагом будет вписать ¼ всех чисел в каждую часть. Числа от 1 до 9 вводятся в квадранте А, от 10 до 18 в квадранте В, от 19 до 27 в части С и от 28 до 36 в части D.

Последовательность ввода такая же, как и при заполнении самого простого нечетного квадрата:

Минимальное число, которое начинает заполнять ячейки, всегда ставится в верхнем ряду посередине. Для каждой части эта ячейка размещается отдельно.
Каждая часть заполняется как новый математический объект. Даже если в другом маршруте есть пустое место, в этих случаях оно игнорируется.

В блоках А и Г на данном этапе решения сумма по строкам и столбцам будет отклоняться от постоянной. Чтобы исправить это, некоторые числа меняются местами друг с другом.

Алгоритм действий:

Вы должны начать с крайней левой ячейки в верхнем ряду. Если фигура 6х6, выберите только первую верхнюю строку части А. В ней должна быть цифра 8. Если размер таблицы 10х10, выберите первые 2 ячейки верхней строки. Им 17 и 24 года.
Из выбранных ячеек формируется промежуточный квадрат. В таблице со строками и столбцами 6×6 она будет состоять из 1 ячейки. Его условно обозначают А1.
Если размер 10×10, выбираются первые две ячейки в верхней строке. Вместе с ними выделяется еще 2 ячейки, во второй строке получается поле из 4 ячеек рядом друг с другом.
В следующей строке первая ячейка пропускается, затем выбирается такое же количество ячеек, какое было в промежуточной таблице А1. Полученную цифру можно обозначить А2.
Таким же образом строится промежуточный квадрат А3.
Эти 3 промежуточные формы образуют выделенную область А.
Затем они перемещаются в квадрант D и образуют отдельную область D.

Числа, введенные в выбранные треугольники A и D, необходимо поменять местами. После этого сумма в каждой строке должна быть одинаковой. Он равен расчетной магической константе.

Видео:Магический квадрат - фокус для вечеринок [Numberphile]Скачать

Двойной порядок

Если головоломка имеет двойной порядок четности, количество окон в каждой горизонтальной строке или вертикальном столбце должно делиться на 4. Минимальное количество с этими свойствами будет таблицей 4×4.

решение магических квадратов с двойной четностью следует тому же алгоритму, что и остальные. Первым шагом в наполнении является вычисление магической константы. Используется та же формула, что и для расчета других квадратов. Для фигуры со стороной 4 клетки значение константы будет равно 34.

Промежуточные таблицы выделены в каждом углу основного поля. Их размер должен быть равен n/4. Эти области обозначают буквами A, B, C, D, располагая их против часовой стрелки. Размер промежуточных фигур зависит от размера исходного квадрата:

Если длина стороны 4 клетки, промежуточные зоны будут иметь 1 ячейку.
В таблице 8×8 эти области включают 4 элемента (2×2).
В квадрате 12х12 промежуточные фигуры разделены размером 3х3.

Следующим шагом будет создание центрального среднего пространства. Размер страницы должен быть н/2. Этот рисунок не должен перекрываться периферийными, но в то же время соприкасаться с ними по углам.

Затем числа вписываются в квадрат слева направо. Их можно размещать только в свободных ячейках, входящих в состав промежуточных областей. Например, при заполнении таблицы 4×4 процедура будет следующей:

В первой строке сверху и первом столбце слева стоит 1. В верхней ячейке четвертого столбца — 4.
Цифры 6 и 7 располагаются посередине второй горизонтальной линии.
В четвертой строке 13 слева и 16 справа.

По тому же принципу остальные ячейки заполняются цифрами. Номера перечислены слева в порядке убывания. Если все сделано правильно, сумма всех чисел в строке будет одинаковой.