Магический квадрат

Тема магического квадрата очень интересна школьникам, поэтому эту тему можно использовать для занятия детей математикой.

Содержание

Определение магического квадрата
Как выглядит магический квадрат
Древние магические квадраты
Минимально возможные суммы магического квадрата
Магический квадрат Франклина восьмого порядка
Магический квадрат Ло-Шу
Бимагические и тримагические квадраты

Определение магического квадрата

Магический квадрат — это квадратная таблица целых чисел от 1 до , удовлетворяющая следующим условиям:

$sum_{i=1}^{n}a_{ij}=sum_{j=1}^{n}a_{ij}=sum_{i=1}^{n}a_{ij}=sum_ {i=1}^{n}a_{i, n+1-i}=p$ , (1)

где

Простыми словами, магический квадрат — это квадратная матрица (таблица) чисел, сумма которых по вертикали, горизонтали и диагонали равна одному и тому же числу.

Как выглядит магический квадрат

Давайте разберемся, что это значит. Возьмем магический квадрат, то есть квадрат имеет 4 столбца и 4 строки

Для квадрата находим магическое число:

Древние магические квадраты

Однако расположение чисел в магическом квадрате не обязательно будет однозначным. Например, посмотрите на два магических квадрата размером :

Первый магический квадрат:

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

Эта площадь была впервые найдена в Индии и трактовалась как площадь дьявола, начиная с 11 века. На самом деле очень интересно узнать, как люди решили, что требуемая сумма чисел в строке, столбце или диагонали должна быть ровно 34?

А вот еще один квадрат магического размера. Эта площадь уже с 16 века. Этот квадрат был найден на гравюре, созданной Альбертом Дюрером и названной «Меланхолия I». Поэтому квадрат называют «магическим квадратом Дюрера». Гравюра написана в 1514 году, а три цифры внизу указывают на год ее создания.

Известно более 48 типов магических квадратов размера .

Минимально возможные суммы магического квадрата

Постоянные значения сумм M магических квадратов имеют минимальное значение (для положительных ненулевых целых значений):

Для размера 3х3 минимальное количество 15, для 4х4 — 34, для 5х5 — 65, для 6х6 — 111, затем 175, 260, …

Все, что меньше, требует использования отрицательных чисел или дробей (не целых чисел) для решения магического квадрата.

Магический квадрат Франклина восьмого порядка

Квадрат Франклина — это панмагический квадрат с магической константой 260. Интересный квадрат со множеством свойств.

52	61	4	13	20	29	36	45
14	3	62	51	46	35	30	19
53	60	5	12	21	28	37	44
11	6	59	54	43	38	27	22
55	58	7	10	23	26	39	42
9	8	57	56	41	40	25	24
50	63	2	15	18	31	34	47
16	1	64	49	48	33	32	17

Магический квадрат Ло-Шу

Этот квадрат относится не к математике, а к китайской метафизике и используется в Фэн-Шуй.

Бимагические и тримагические квадраты

Бимагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим, когда мы заменяем все его числа квадратами этих чисел.

Паскаль написал небольшой трактат о би- и тримагических квадратах.

Тримагическим квадратом называется квадрат, который остается магическим, когда мы заменяем все его числа кубами этих чисел.

Бимагический квадрат 128 х 128 был открыт в 1905 году. В 2002 году немцу Вальтеру Трампу удалось построить тримагический квадрат 12 х 12 и это минимально возможный размер для магического квадрата такого типа.